一、特征值和特征向量(只能是方阵)

对于n阶方阵A，如果存在数a和非零n维列向量x，使得Ax=ax，则称a是矩阵A的一个特征值，x是矩阵A属于特征值a的特征向量

eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)

S = np.mat(eigvecs) * np.mat(np.diag(eigvals)) * np.mat(eigvecs逆)

案例：

import numpy as np
A = np.mat('3 -2; 1 0')
print(A)
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)
print(eigvals)
print(eigvecs)
print(A * eigvecs[:, 0])
print(eigvals[0] * eigvecs[:, 0])
S = np.mat(eigvecs) * np.mat(np.diag(eigvals)) * np.mat(eigvecs.I)

案例：读取图片的亮度矩阵，提取特征值和特征向量，保留部分特征值，重新生成新的亮度矩阵，然后绘制图片。

"""
  特征值和特征向量  提取图片
"""

import imageio
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as mp

original = imageio.imread('D:\\python\\...\\lily.jpg',as_gray = True)
print(original.shape)

original = np.mat(original)

eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(original)
print(eigvals,'特征值')
print(eigvecs,'特征向量')

eigvals[50:] = 0

dst = eigvecs * np.diag(eigvals) * eigvecs.I

mp.subplot(121)
mp.imshow(original,cmap='gray')
mp.xticks()
mp.yticks()
mp.tight_layout()

mp.subplot(122)
mp.imshow(dst.real,cmap='gray')
mp.xticks()
mp.yticks()
mp.tight_layout()

mp.show()

二、奇异值分解(既可以方阵，又可以非方阵)

有一个矩阵M，可以分解为3个矩阵U、S、V，使得U x S x V等于M。 U与V都是正交矩阵（乘以自身的转置矩阵结果为单位矩阵）。 那么S矩阵主对角线上的元素称为矩阵M的奇异值，其它元素均为0。

import numpy as np
M = np.mat('4 11 14; 8 7 -2')
print(M)
U, sv, V = np.linalg.svd(M, full_matrices=False)
print(U * U.T)
print(V * V.T)
print(sv)
S = np.diag(sv)
print(S)
print(U * S * V)

例如：读取图片的亮度矩阵，提取奇异值和两个正交矩阵，保留一些奇异值，重新生成新的亮度矩阵，然后绘制图片。

"""
  特征值和特征向量  提取图片
"""

import imageio
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as mp

original = imageio.imread('D:\\python\\...\\lily.jpg',as_gray = True)
print(original.shape)

original = np.mat(original)

eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(original)
print(eigvals,'特征值')
print(eigvecs,'特征向量')

eigvals[50:] = 0
dst = eigvecs * np.diag(eigvals) * eigvecs.I

U , sv, V = np.linalg.svd(original,full_matrices=False)
sv[50:] = 0
dst2 = U * np.diag(sv) * V

mp.subplot(221)
mp.imshow(original,cmap='gray')
mp.xticks()
mp.yticks()
mp.tight_layout()

mp.subplot(222)
mp.imshow(dst.real,cmap='gray')
mp.xticks()
mp.yticks()
mp.tight_layout()

mp.subplot(224)
mp.imshow(dst2.real,cmap='gray')
mp.xticks()
mp.yticks()
mp.tight_layout()

mp.show()

三、快速傅里叶变换(fft)

什么是傅里叶变换？

法国科学家傅里叶提出傅里叶定理，任何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑正弦曲线叠加之和。傅里叶变换即是将不规则曲线拆解为一组光滑正弦曲线的过程。

傅里叶变换的目的是将时间域(即时间域)中的信号转换为频域(即频域)中的信号。随着领域的不同，人们对同一事物的理解也会发生变化，所以在频域中很容易处理，而在时间域中很难处理。这可以极大地减少处理信号的存储。

例如：弹钢琴

假设有一时间域函数： y = f(x)，根据傅里叶的理论它可以被分解为一系列正弦函数的叠加，他们的振幅A，频率ω或初相位φ不同：
y = A 1 s i n ( ω 1 x + ϕ 1 ) + A 2 s i n ( ω 2 x + ϕ 2 ) + A 2 s i n ( ω 2 x + ϕ 2 ) + R y = A_1sin(\omega_1x+\phi_1) + A_2sin(\omega_2x+\phi_2) + A_2sin(\omega_2x+\phi_2) + R y =A 1 ​s i n (ω1 ​x +ϕ1 ​)+A 2 ​s i n (ω2 ​x +ϕ2 ​)+A 2 ​s i n (ω2 ​x +ϕ2 ​)+R

因此，傅里叶变换可以将一个较复杂的函数变换为多个简单函数的叠加，问题的观点也从时间域转移到了频率域，一些问题会相对简单地处理。

傅里叶变换相关函数

导入快速傅里叶变换所需模块

import numpy.fft as nf

(1) 通过采样数与采样周期求得傅里叶变换分解所得曲线的 频率序列

freqs = np.fftfreq(采样数量, 采样周期)

(2) 通过原函数值的序列j经过快速傅里叶变换得到一个 复数数组，复数的模代表的是 振幅，复数的辐角代表 初相位

np.fft(原函数数组) -> 复数数组(表示一组正弦函数)

(3) 通过 复数数组 经过逆向傅里叶变换得到 合成的函数值数组

np.ifft(复数数组)->原函数值数组

案例：针对方波，绘制时域图与频域图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as mp

x = np.linspace(0,4 * np.pi,1000)

y = np.zeros(1000)
for i in range(1, 1001, 2):
    y += 4 / i * np.pi * np.sin(i * x)

mp.figure('合成方波',facecolor='lightgray')

mp.title('Chart',fontsize = 18)

mp.grid(linestyle=':')
mp.plot(x,y,color = 'purple',label = 'y')
mp.tight_layout()

import numpy.fft as nf
complex_ary = nf.fft(y)
print(complex_ary.shape,complex_ary.dtype,complex_ary.size)

y_ = nf.ifft(complex_ary)
mp.subplot(121)
mp.grid(linestyle=':')
mp.plot(x,y_,color = 'green',label = 'y_',linewidth = 7,alpha = 0.2)

freqs = nf.fftfreq(y.size, x[1] - x[0])
pows = np.abs(complex_ary)
print(freqs)
mp.subplot(122)
mp.plot(freqs[freqs > 0],pows[freqs > 0],color = 'green',label = 'pows')
mp.tight_layout()

mp.legend()
mp.show()

基于傅里叶变换的频域滤波

含噪信号是高能信号和低能噪声的叠加，通过傅里叶变换的频域滤波可以将其滤除。

通过FFT使含噪信号转换为含噪频谱，去除低能噪声，留下高能频谱后再通过IFFT留下高能信号。

案例：基于傅里叶变换的频域滤波为音频文件去除噪声。

"""
  频率滤波降噪
"""
import numpy as np
import numpy.fft as nf
import scipy.io.wavfile as wf
import matplotlib.pyplot as mp

sample_rate, noised_sigs = wf.read("D:\\python\\...\\noised.wav")
print(sample_rate, noised_sigs.shape)

noised_sigs = noised_sigs / 2 ** 15

times = np.arange(noised_sigs.size) / sample_rate
print(times)
mp.figure('Filter',facecolor='lightgray')
mp.subplot(221)

mp.title('Time Domain Chart',fontsize = 16)
mp.ylabel('Noised Signal',fontsize = 12)
mp.grid(linestyle=':')
mp.plot(times[:178],noised_sigs[:178],color='orange',label='Noised')
mp.legend()
mp.tight_layout()

freqs = nf.fftfreq(times.size, times[1] - times[0])
complex_ary = nf.fft(noised_sigs)
pows = np.abs(complex_ary)
mp.subplot(222)

mp.title('freqs Domain Chart',fontsize = 16)
mp.ylabel('pows',fontsize = 12)
mp.grid(linestyle=':')
mp.semilogy((freqs[freqs > 0]),(pows[freqs > 0]),color='purple',label='Noised')
mp.legend()
mp.tight_layout()

found_freq = freqs[pows.argmax()]

noised_index = np.where(freqs != found_freq)

complex_ary[noised_index] = 0
pows = np.abs(complex_ary)
mp.subplot(224)

mp.ylabel('pows',fontsize = 12)
mp.grid(linestyle=':')
mp.plot((freqs[freqs > 0]),(pows[freqs > 0]),color='green',label='Filter')
mp.legend()

filter_sigs = nf.ifft(complex_ary).real
mp.subplot(223)

mp.ylabel('Filter Signal',fontsize = 12)
mp.grid(linestyle=':')
mp.plot(times[:178],filter_sigs[:178],color='blue',label='Filter')
mp.legend()
mp.tight_layout()

wf.write("D:\\python\\video\\笔记\\第五阶段\\AI\\data_note\\素材\\da_data\\filter_noised.wav", sample_rate,
         (filter_sigs * 2 ** 15).astype(np.int16) )

mp.show()

Original: https://blog.csdn.net/qq_44665283/article/details/122737576
Author: undo_try
Title: 数据分析（二）特征值和特征向量、奇异值、傅里叶变换

相关阅读

Title: pytorch安装详细步骤

文章目录

• （一）win—配置tensorflow-GPU
• （二）安装 pytorch
  *
• 2.1 创建虚拟环境
• 2.2正式安装pytorch
• 2.3 验证是否安装成功
• （三）本文参考链接如下：（感谢各位大佬）

（一）win—配置tensorflow-GPU

直接查看这条链接即可：win-配置tf-GPU
本人用的conda和tensorflow-GPU版本下载：提取码：98ot
环境：win10+anaconda
注：anaconda安装步骤略，以下步骤默认anaconda已安装。

（二）安装 pytorch

2.1 创建虚拟环境

conda create --name pytorch python=3.8.1

注意，这里的 pytorch 是虚拟环境的名称，可随意取。3.8.1是我机器上的python版本，可结合自己安装的python版本灵活变换。

activate pytorch

2.2正式安装pytorch

****：pytorch 官网链接

注意：如果笔记本有独立显卡（NVIDIA）的话，可以如上选择对应的CUDA版本，否则选择CPU。

• 本人采用的方法
  在pytorch虚拟环境下，创建.condarc文件
  
  在虚拟环境中输入如下命令：

conda config --set show_channel_urls yes

• 之后在自己电脑的用户文件下找到一个.condarc文件
  
  用记事本打开这个文件，然后用如下代码代替其中的内容：

channels:
  - defaults
show_channel_urls: true
channel_alias: https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda
default_channels:
  - https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/pkgs/main
  - https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/pkgs/free
  - https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/pkgs/r
  - https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/pkgs/pro
  - https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/pkgs/msys2
custom_channels:
  conda-forge: https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/cloud
  msys2: https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/cloud
  bioconda: https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/cloud
  menpo: https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/cloud
  pytorch: https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/cloud
  simpleitk: https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/cloud

记住.condarc配置好后一定要保存。

• 或者使用清华镜像源
  在浏览pytorch安装帮助的相关帖子时有人说清华源停止镜像了，但是现在清华源已经恢复提供镜像了，所以还是可以用的。附上清华源Anaconda镜像使用帮助，大家可以读一下这段帮助（不读也没关系下面给出详细步骤）。

conda install pytorch torchvision torchaudio cudatoolkit=10.2 -c pytorch

复制这条命令在 Anaconda Prompt 里输入。

2.3 验证是否安装成功

是否安装成功分两个方面。

• 一个是在prompt里面

（1）在命令行左边为 pytorch 环境中，输入 python

（2）之后，输入 import torch，如果没有报错，意味着 PyTorch 已经顺利安装了。

• 一个是在jupyter notebook里面调用
  首先，在菜单中打开Anaconda Prompt，然后安装插件。
  命令行输入：

conda install nb_conda

然后进入创建的pytorch环境，命令行输入:

conda install ipykernel

安装成功的样子如下：

进入Anaconda中可查看，多了pytorch框架：

（三）本文参考链接如下：（感谢各位大佬）

WIN10下pytorch环境配置（安装了半天的血泪史）
WIn10+Anaconda环境下安装PyTorch(避坑指南)
win10下使用anaconda安装pytorch（清华镜像）
如何让Jupyter Notebook支持pytorch

Original: https://blog.csdn.net/weixin_54546190/article/details/120754242
Author: ☞源仔
Title: pytorch安装详细步骤