独立小样本两个总体均值差的区间估计

小样本：或

条件：总体服从正态分布，随机样本是从两个总体独立选取的。

如果总体方差相等：

公式套用：

自由度=

参数解释：

• ：总体1 -方差，：总体2 -方差
• ：样本1 -均值，：样本2 -均值
• ：样本1 -样本数量，：样本2 -样本数量
• ：样本1 -样本方差，：样本2 -样本方差
• ：t分布值，若取95%置信区间，则为0.05.

分析范例：

沥青含量3% 和 7%混凝土水渗透性测量数据
3%含量7%含量11898538409001020733980785
方差既可以使用numpy函数，也可以使用pandas函数。

numpy 中计算的方差就是样本方差本身：
使用场景为：拥有所有数据的情况下，计算所有数据的标准差时使用，即最终除以n，而非n-1

pandas 中计算的方差为无偏样本方差：
使用场景为：只有部分数据但需要求得总体的标准差时使用，当只有部分数据时，根据统计规律，除以n时计算的标准差往往偏小，因此需要除以n-1，即n-ddof。
由于是用于样本数据，所以采用pandas的方差函数。

import numpy as np
from scipy.stats import t
import pandas as pd

y1 = [1189, 840, 1020, 980]  # 抽样1数据
y2 = [853, 900, 733, 785]  # 抽样2数据
# 方差
arr1 = pd.Series(y1)  # 样本1 生成Series
arr2 = pd.Series(y2)  # 样本2 生成Series
arr_var1=arr1.var()   # 取得样本1 方差 20636.91
arr_var2=arr2.var()  # 取得样本2 方差 5420.916

计算

• 样本均值:=arr_mean1&arr_mean2,
• t分布分位点:=t_value，
• 样本数量:n=n1&n2

# 均值
arr_mean1 = np.mean(y1)  # 样本1 均值 1007
arr_mean2 = np.mean(y2)  # 样本2 均值 817.8

# t分布值

n1 = len(y1)  # 抽样2数据个数 4
n2 = len(y2)  # 抽样1数据个数 4
variance = (n1 + n2 - 2)  # 自由度 6

ci = 0.95  # 定义置信系数95%
alpha = 1 - ci  # 定义α
t_v = t(variance)  # 定义一个自由度为6:(n1 + n2 - 2)的 t分布
t_value = t_v.isf(alpha / 2)  # 取t分布单侧右分位点 ；stats.t.ppf(a,df)/左分位点；stats.t.isf(a,df)/右分位点；stats.t.interval(1-a,df)/双侧分位点

计算

• =sp_2

sp_2 = (((n1 - 1) * arr_var1) + ((n2 - 1) * arr_var2)) / variance

a = arr_mean1 - arr_mean2
b = t_value * ((sp_2 * ((1 / n1) + (1 / n2))) ** 0.5)
# 上区间
up = a - b
# 下区间
dn = a + b
print([up, dn])

输出结果：

[-7.995624947727066, 386.99562494772704]

如果总体方差不同：

条件：总体服从正态分布，随机样本是从两个总体独立选取的。

公式套用：

自由度：

s1=arr_var1 #样本1 方差 20636.91
s2=arr_var2 # 样本2 方差 5420.916

v=((s1/n1+s2/n2)**2)/((((s1/n1)**2)/(n1-1))+(((s2/n2)**2)/(n2-1))) #自由度为4
t_value2 = t.isf(alpha/2,v) # 取自由度为v：4  的t分布单侧右分位点
c = t_value2 * ( ((s1 / n1) + (s2 / n2)) ** 0.5)
# 上区间
up = a - c
# 下区间
dn = a + c
print([up, dn])

[-25.527425913788278, 404.5274259137883]

Original: https://blog.csdn.net/Zohn_Sun/article/details/122835360
Author: 燕北茶
Title: 独立小样本两个总体均值差的区间估计